题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
【答案】(1)见解析;(2)5
【解析】
试题分析:(1)根据矩形性质求出AD∥BC,推出∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,证△DMO≌△BNO,推出OM=ON,得出平行四边形BMDN,推出菱形BMDN;
(2)根据菱形性质求出DM=BM,在Rt△AMB中,根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2,推出x2=x2﹣16x+64+16,求出即可.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠A=90°,
∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,
∵在△DMO和△BNO中,
,
∴△DMO≌△BNO(AAS),
∴OM=ON,
∵OB=OD,
∴四边形BMDN是平行四边形,
∵MN⊥BD,
∴平行四边形BMDN是菱形.
(2)解:∵四边形BMDN是菱形,
∴MB=MD,
设MD长为x,则MB=DM=x,
在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2
即x2=(8﹣x)2+42,
解得:x=5,
所以MD长为5.
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