题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN.

(1)求证:四边形BMDN是菱形;

(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.

【答案】(1)见解析;(2)5

【解析】

试题分析:(1)根据矩形性质求出ADBC,推出MDO=NBO,DMO=BNO,证DMO≌△BNO,推出OM=ON,得出平行四边形BMDN,推出菱形BMDN;

(2)根据菱形性质求出DM=BM,在RtAMB中,根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2,推出x2=x2﹣16x+64+16,求出即可.

(1)证明:四边形ABCD是矩形,

ADBC,A=90°,

∴∠MDO=NBO,DMO=BNO,

DMO和BNO中,

∴△DMO≌△BNO(AAS),

OM=ON,

OB=OD,

四边形BMDN是平行四边形,

MNBD,

平行四边形BMDN是菱形.

(2)解:四边形BMDN是菱形,

MB=MD,

设MD长为x,则MB=DM=x,

在RtAMB中,BM2=AM2+AB2

即x2=(8﹣x)2+42

解得:x=5,

所以MD长为5.

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