题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(0,8)、(6,0),以AC为直径作⊙O,交坐标轴于点B,点D是⊙O 上一点,且=
,过点D作DE⊥BC,垂足为E.
(1)求证:CD平分∠ACE;
(2)判断直线ED与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)求线段CE的长.
【答案】(1)参见解析;(2)相切,理由参见解析;(3)2.
【解析】试题分析:(1)利用圆内接四边形对角互补,可得出∠BAD+∠BCD=180°,利用邻补角性质可得出:∠BCD+∠DCE=180°,于是∠DCE=∠BAD,又因为=
,等弧所对的圆周角相等,所以∠BAD=∠ACD,等量代换:∠DCE=∠ACD,于是得出CD平分∠ACE;(2)连接OD.证明OD⊥DE即可,因为上题已经得出∠DCE=∠ACD,而又有OC=OD,∠ODC=∠OCD,所以∠DCE=∠ODC,所以OD∥BE,又因为DE⊥BC,所以OD⊥DE,进而得出结论;(3)延长DO交AB于点H,可得HO是△ABC的中位线,HO=3,因为∠ADC=90°,O是AC的中点,所以OD=
AC=5,HD=3+5=8,而四边形BEDH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形),所以BE=HD=8,BC是6,从而求得CE值.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是⊙O内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°,又∵∠BCD+∠DCE=180°,∴∠DCE=∠BAD,∵=
,∴∠BAD=∠ACD,∴∠DCE=∠ACD,∴CD平分∠ACE;(2)如图:连接OD.
∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD,又∵∠DCE=∠ACD,∴∠DCE=∠ODC,∴OD∥BE,∴∠ODE+∠DEC=180° , 又∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°,∴∠ODE=90°∴OD⊥DE,又∵OD为半径,∴直线ED与⊙O相切;(3)如上图:延长DO交AB于点H,∵OD∥BE,O是AC的中点,∴H是AB的中点, ∴HO是△ABC的中位线, ∴HO=BC=3,因为AC为直径,∴∠ADC=90°,又∵O是AC的中点,∴OD=
AC=
×
="5" , ∴HD=3+5=8,∵∠ABC=∠DEC=∠ODE=90°, ∴四边形BEDH是矩形,∴BE=HD=8,∴CE=8-6=2.
