题目内容
【题目】如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F,AC与EF交于点O,连结AF、CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AB=3,AD=4,求菱形AFCE的边长.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)由矩形的性质得出AD∥BC,∠EAO=∠FCO,证明△AEO≌△CFO,得出AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形,再由对角线AC⊥EF,即可得出结论;
(2)设AF=CF=x,则BF=4-x,在Rt△ABF中,根据勾股定理得出方程,解方程即可.
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵EF是AC的垂直平分线,
∴AO=CO,∠EOA=∠FOC=90°,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
又∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形;
(2)解:∵四边形AFCE是菱形,
∴AF=CF,
设AF=CF=x,则BF=4-x,
在Rt△ABF中,AF2=AB2+BF2,
即x2=32+(4-x)2,
解得 x=,
∴菱形AFCE的边长为.

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