题目内容

【题目】如图,已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点.

(1)求证:MD和NE互相平分;

(2)若BD⊥AC,EM=2,OD+CD=7,求△OCB的面积.

【答案】(1)见试题解析(28.5

【解析】试题分析:(1)连接EDMN,根据三角形中位线定理可得ED∥MNED=MN,进而得到四边形DEMN是平行四边形,再根据平行四边形的性质可得MDNE互相平分;

2)利用(1)中所求得出OC=2DN=4,再利用勾股定理以及三角形面积公式求出SOCB=OB×CD即可.

试题解析:(1)证明:连接EDMN

∵CEBD△ABC的中线,

∴EDABAC中点,

∴ED∥BCED=BC

∵MN分别为OBOC的中点,

∴MN∥BCMN=BC

∴ED∥MNED=MN

四边形DEMN是平行四边形,

∴MDNE互相平分;

2)解:由(1)可得DN=EM=2

∵BD⊥AC

∴∠ODC=90°

∵NOC的中点,

∴OC=2DN=4(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)

∵OD2+CD2=OC2=32

OD+CD2=OD2+CD2+2OD×CD=72=49

2OD×CD=49﹣32=17

OD×CD=8.5

∵OB=2OM=2OD

∴SOCB=OB×CD=OD×CD=8.5

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