题目内容
如图,在直角梯形OABC中,OA∥BC,A、B两点的坐标分别为A(13,0),B(11,12).动点P、Q分别从O、B两点出发,点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动,点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动;当点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于点D,过点D作DE∥x轴,交AB于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间
(1)当t为何值时,四边形PABQ是平行四边形.
(2)△PQF的面积是否发生变化?若变化,请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式;若不变,请求出△PQF的面积.
(3)随着P、Q两点的运动,△PQF的形状也随之发生了变化,试问何时会出现等腰△PQF?
分析:(1)设OP=2t,QB=t,PA=13-2t,根据平行四边形的性质(对边平行且相等)知,只需QB=PA,从而求得t;
(2)根据平行线分线段成比例求得
=
=
;然后由平行线OB∥DE∥PA分线段成比例求得
=
;利用等量代换求得AF=2QB=2t,PF=OA=13;最后由三角形的面积公式求得△PQF的面积;
(3)由(2)知,PF=OA=13.分三种情况解答:①QP=FQ,作QG⊥x轴于G,则11-t-2t=2t+13-(11-t);②PQ=FP;③FQ=FP.
(2)根据平行线分线段成比例求得
QB |
OP |
QD |
DP |
1 |
2 |
QB |
AF |
1 |
2 |
(3)由(2)知,PF=OA=13.分三种情况解答:①QP=FQ,作QG⊥x轴于G,则11-t-2t=2t+13-(11-t);②PQ=FP;③FQ=FP.
解答:解:(1)设OP=2t,QB=t,PA=13-2t,要使四边形PABQ为平行四边形,则13-2t=t
∴t=
.
(2)不变.
∵
=
,
∴
=
,
∵QB∥DE∥PA,
∴
=
=
=
=
,
∴AF=2QB=2t,
∴PF=OA=13,
∴S△PQF=
×13×12=78;
(3)由(2)知,PF=OA=13,
①QP=FQ,作QG⊥x轴于G,则11-t-2t=2t+13-(11-t),
∴t=
;
②PQ=FP,
∴
=13,
∴t=2或
;
③FQ=FP,
=13,
∴t=1;
综上,当t=
或2或1或
时,△PQF是等腰三角形.
∴t=
13 |
3 |
(2)不变.
∵
QB |
OP |
QD |
DP |
∴
QD |
DP |
1 |
2 |
∵QB∥DE∥PA,
∴
QB |
AF |
QE |
EF |
BD |
DO |
QD |
DP |
1 |
2 |
∴AF=2QB=2t,
∴PF=OA=13,
∴S△PQF=
1 |
2 |
(3)由(2)知,PF=OA=13,
①QP=FQ,作QG⊥x轴于G,则11-t-2t=2t+13-(11-t),
∴t=
3 |
2 |
②PQ=FP,
∴
(11-3t)2+122 |
∴t=2或
16 |
3 |
③FQ=FP,
[13+2t-(11-t)]2+122 |
∴t=1;
综上,当t=
3 |
2 |
16 |
3 |
点评:本题综合考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理与直角梯形性质的应用.解答此题时,多处用到了分类讨论的数学思想,防止漏解.

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