题目内容

如图,在直角梯形OABC中,OA∥BC,A、B两点的坐标分别为A(13,0),B(11,12).动点P、Q分别从O、B两点出发,点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动,点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动;当点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于点D,过点D作DE∥x轴,交AB于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间精英家教网为t(单位:秒).
(1)当t为何值时,四边形PABQ是平行四边形.
(2)△PQF的面积是否发生变化?若变化,请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式;若不变,请求出△PQF的面积.
(3)随着P、Q两点的运动,△PQF的形状也随之发生了变化,试问何时会出现等腰△PQF?
分析:(1)设OP=2t,QB=t,PA=13-2t,根据平行四边形的性质(对边平行且相等)知,只需QB=PA,从而求得t;
(2)根据平行线分线段成比例求得
QB
OP
=
QD
DP
=
1
2
;然后由平行线OB∥DE∥PA分线段成比例求得
QB
AF
=
1
2
;利用等量代换求得AF=2QB=2t,PF=OA=13;最后由三角形的面积公式求得△PQF的面积;
(3)由(2)知,PF=OA=13.分三种情况解答:①QP=FQ,作QG⊥x轴于G,则11-t-2t=2t+13-(11-t);②PQ=FP;③FQ=FP.
解答:解:(1)设OP=2t,QB=t,PA=13-2t,要使四边形PABQ为平行四边形,则13-2t=t
t=
13
3


(2)不变.
QB
OP
=
QD
DP

QD
DP
=
1
2

∵QB∥DE∥PA,
QB
AF
=
QE
EF
=
BD
DO
=
QD
DP
=
1
2

∴AF=2QB=2t,
∴PF=OA=13,
∴S△PQF=
1
2
×13×12=78


(3)由(2)知,PF=OA=13,
①QP=FQ,作QG⊥x轴于G,则11-t-2t=2t+13-(11-t),
t=
3
2

②PQ=FP,
(11-3t)2+122
=13

t=2或
16
3

③FQ=FP,
[13+2t-(11-t)]2+122
=13

∴t=1;
综上,当t=
3
2
或2或1
16
3
时,△PQF是等腰三角形.
点评:本题综合考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理与直角梯形性质的应用.解答此题时,多处用到了分类讨论的数学思想,防止漏解.
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