Question

如图，在△ABC中，∠C=90°．O为BC边上一点，以O为圆心、OB为半径作半圆，与AB边交于点D．过点D作半圆O的切线与AC边相交于点E．求证：△DAE是等腰三角形．

Answer 1

证明：∵DE为圆O的切线，
∴OD⊥DE，即∠EDO=90°，
∴∠ADE+∠ODB=90°，
又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，
∴∠ADE=∠A，
∴AE=ED，即△DAE是等腰三角形．
分析：由DE为圆O的切线，根据圆的切线垂直于过切点的半径，即∠DEO=90°，得到∠ADE与∠ODB互余，又∠C=90°，得到，∠A与∠B互余，由半径OD与OB相等，根据等边对等角得到∠ODB与∠B相等，进而根据等角的余角相等得到∠ADE与∠A相等，再根据等角对等边，得到AE与ED相等，得证．
点评：此题考查学生掌握切线的性质及等腰三角形的性质与判断，会利用等角的余角相等的性质进行证明，是一道中档题．学生做题时注意构造等角的余角相等这个模型．