Question

【题目】已知一次函数y=x+4的图象与二次函数y=ax（x﹣2）的图象相交于A（﹣1，b）和B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y=ax（x﹣2）的图象交于点C．

（1）求a、b的值
（2）求线段PC长的最大值；
（3）若△PAC为直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣1，b）在直线y=x+4上，

∴b=﹣1+4=3，

∴A（﹣1，3）．

又∵A（﹣1，3）在抛物线y=ax（x﹣2）上，

∴3=﹣a（﹣1﹣2），

解得：a=1．

（2）解：设P（m，m+4），则C（m，m2﹣2m）．

∴PC=（m+4）﹣（m2﹣2m）

=﹣m2+3m+4

=﹣（m﹣ ）2+ ，

∵（m﹣ ）2≥0，

∴﹣（m﹣ ）2+ ≤ ．

∴当m= 时，PC有最大值，最大值为 ．

（3）解：如图

，

P（m，m+4），C（m，m2﹣2m），

AP2=（m+1）2+（m+4﹣3）2=2（m+1）2，AC2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2，PC2=（﹣m2+3m+4）2．

①当AP2+AC2=PC2时，即2（m+1）2+（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2=（﹣m2+3m+4）2，

3（m+1）2+[（m2﹣2m﹣3）2﹣（﹣m2+3m+4）2]=0

化简，得（m+1）（m+1）（m﹣2）=0，

解得m=﹣1（不符合题意，舍），m=2，

当m=2时，m+4=6，即P（2，6）；

②当AP2=AC2+PC2时，即2（m+1）2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2+（﹣m2+3m+4）2，

化简，得

（m﹣4）（m+1）（m+1）（m﹣3）=0．

解得m=4（不符合题意，舍），m=﹣1（不符合题意，舍），m=3，

当m=3时，m+4=7，

即（3，7），

综上所述：若△PAC为直角三角形，点P的坐标为P1（2，6），P2（3，7）．

【解析】（1）由A（﹣1，b）在直线y=x+4上，求出b的值，得到A点坐标，再代入二次函数的解析式，求出a的值；（2）由点P在一次函数y=x+4的图象上得到P点的坐标与C点坐标的代数式，根据两点间的距离公式得到PC的最大值；（3）由（2）中的P、C点坐标的代数式，再根据勾股定理求出m的值，求出若△PAC为直角三角形，点P的坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.