题目内容

【题目】ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若C=90°,如图(1),则根据勾股定理,得a2+b2=c2.若ABC不是直角三角形,如图(2)和(3),请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.

【答案】见解析

【解析】

解:若ABC为锐角三角形,则有a2+b2>c2,若ABC为钝角三角形,C为钝角,则有a2+b2<c2

证明:(1)当ABC为锐角三角形时,过点A作ADCB,垂足为D,设CD=x,则有DB=a-x.

根据勾股定理,得b2-x2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2

a2+b2=c2+2ax.a>0,x>0,2ax>0,

a2+b2>c2

(2)当ABC为钝角三角形时,过B作BDAC,交AC的延长线于点D,设CD=x,则BD2=a2-x2.根据勾股定理,得(b+x)2+(a2-x2)=c2a2+b2+2bx=c2

b>0,x>0,2bx>0,a2+b2<c2

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