题目内容
【题目】在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图(1),则根据勾股定理,得a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图(2)和(3),请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
【答案】见解析
【解析】
解:若△ABC为锐角三角形,则有a2+b2>c2,若△ABC为钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2<c2.
证明:(1)当△ABC为锐角三角形时,过点A作AD⊥CB,垂足为D,设CD=x,则有DB=a-x.
根据勾股定理,得b2-x2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.
∴a2+b2=c2+2ax.∵a>0,x>0,∴2ax>0,
∴a2+b2>c2.
(2)当△ABC为钝角三角形时,过B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D,设CD=x,则BD2=a2-x2.根据勾股定理,得(b+x)2+(a2-x2)=c2,∴a2+b2+2bx=c2.
∵b>0,x>0,∴2bx>0,∴a2+b2<c2.
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