题目内容
【题目】我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明: ;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足 ,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG , S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究 的最大值.
【答案】
(1)
证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.
∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.
∴DE是中位线,
∴DE∥AC,且DE= AC.
∵DE∥AC,
∴△AOC∽△DOE,
∴ =2,
∵AD=AO+OD,
∴
(2)
答:点O是△ABC的重心.
证明:如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.
由(1)可知, ,
而 ,
∴点Q与点O重合(是同一个点),
∴点O是△ABC的重心
(3)
解:如答图3所示,连接DG.
设S△GOD=S,由(1)知 ,即OA=2OD,
∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.
为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS.
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,
∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.
设OH=kOG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.
∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=(6x+6)S﹣(2k+2)S=(6x﹣2k+4)S.
∴ =
=
①
如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE.
∵OF∥BC,
∴ ,
∴OF= CD=
BC;
∵GE∥BC,
∴ ,
∴GE= ;
∴ =
,
∴ .
∵OF∥GE,
∴ ,
∴ =
,
∴k= ,代入①式得:
=
=
=﹣x2+x+1=﹣(x﹣
)2+
,
∴当x= 时,
有最大值,最大值为
【解析】(1)如答图1,作出中位线DE,证明△AOC∽△DOE,可以证明结论;(2)如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.由(1)可知, ,而已知
,故点O与点Q重合,即点O为△ABC的重心;(3)如答图3,利用图形的面积关系,以及相似线段间的比例关系,求出
的表达式,这是一个二次函数,利用二次函数的性质求出其最大值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小,以及对相似三角形的判定的理解,了解相似三角形的判定方法:两角对应相等,两三角形相似(ASA);直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS);三边对应成比例,两三角形相似(SSS).
