Question

【题目】某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题获得学分2分，便可通过考察．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成：考生乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响．求： （Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（Ⅱ）请你判断两考生的实验操作学科能力，比较他们能通过本次考查的可能性大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得甲正确完成题数X的可能取值为1，2，3， P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
∴甲考生正确完成题数X的概率分布列为：

X	1	2	3
P

EX= =2．
乙正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3， ），
P（Y=0）= = ，
P（Y=1）= = ，
P（Y=2）= = ，
P（Y=3）= = ，
∴甲考生正确完成题数Y的概率分布列为：

Y	0	1	2	3
P

E（Y）= =2．
（Ⅱ）∵E（X）=E（Y）=2，
D（X）=（1﹣2）2× +（2﹣2）2× +（3﹣2）2× = ，
D（Y）= = ，
D（X）＜D（Y），
∵P（X≥2）= = ，
P（Y≥2）= = ，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）
①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；
②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，
因此，可以判断甲的实验操作能力强．
【解析】（Ⅰ）由已知得甲正确完成题数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出甲考生正确完成题数X的概率分布列和数学期望；乙正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3， ），由此能求出乙考生正确完成题数Y的概率分布列和数学期望．（Ⅱ）E（X）=E（Y）=2，求出D（X）和D（Y），得到D（X）＜D（Y），再求出P（X≥2）和P（Y≥2），得到P（ξ≥2）＞P（η≥2），由此判断甲的实验操作能力强．
【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．