题目内容

如图,AB是⊙O的直径,AC是弦.

(1)请你按下面步骤画图;
第一步,过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D;
第二步,过点D作AC的垂线,交AC的延长线点E.
第三步,连接BD.
(2)求证:AD2=AE•AB;
(3)连接EO,交AD于点F,若5AC=3AB,求的值.
(1)如图;

(2)先根据圆周角定理可得∠ADB=90°,再结合DE⊥AC,AD平分∠CAB,即可证得Rt△ADE∽Rt△ABD,根据相似三角形的性质即可得到结论;(3)

试题分析:(1)根据角平分线与垂线的画法即可作出图形;
(2)先根据圆周角定理可得∠ADB=90°,再结合DE⊥AC,AD平分∠CAB,即可证得Rt△ADE∽Rt△ABD,根据相似三角形的性质即可得到结论;
(3)连OD、BC,它们交于点G,由5AC=3AB,可设AC=3x,AB=5x,根据圆周角定理可得∠ACB=90°,由∠CAD=∠DAB,可的弧DC=弧DB,即可得到OD∥AE,OG=AC=,从而证得四边形ECGD为矩形,可的CE=DG=OD-OG=x-x =x,则AE=AC+CE=3x+x=4x,根据AE∥OD,可得△AEF∽△DOF,根据相似三角形的性质即可求得结果.
(1)如图;

(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
而DE⊥AC,
∴∠AED=90°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB,
∴Rt△ADE∽Rt△ABD,
∴AD:AB=AE:AD,
∴AD2=AE•AB;
(3)连OD、BC,它们交于点G,如图,

∵5AC=3AB,即AC:AB=3:5,
∴不妨设AC=3x,AB=5x,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵∠CAD=∠DAB,
∴弧DC=弧DB,
∴OD垂直平分BC,
∴OD∥AE,OG=AC=
∴四边形ECGD为矩形,
∴CE=DG=OD-OG=x-x =x,
∴AE=AC+CE=3x+x=4x,
∵AE∥OD,
∴△AEF∽△DOF,
∴AE:OD=EF:OF,
∴EF:OF=4x:x=8:5,

点评:解答本题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角;相似三角形的对应边成比例,注意对应字母在对应位置上.
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