Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．

（1）请你按下面步骤画图；
第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线点E．
第三步，连接BD．
（2）求证：AD²=AE•AB；
（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．

Answer 1

（1）如图；

（2）先根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再结合DE⊥AC，AD平分∠CAB，即可证得Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）

试题分析：（1）根据角平分线与垂线的画法即可作出图形；
（2）先根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再结合DE⊥AC，AD平分∠CAB，即可证得Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）连OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，可设AC=3x，AB=5x，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB，可的弧DC=弧DB，即可得到OD∥AE，OG=AC=，从而证得四边形ECGD为矩形，可的CE=DG=OD-OG=x-x =x，则AE=AC+CE=3x+x=4x，根据AE∥OD，可得△AEF∽△DOF，根据相似三角形的性质即可求得结果.
（1）如图；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD：AB=AE：AD，
∴AD²=AE•AB；
（3）连OD、BC，它们交于点G，如图，

∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，
∴不妨设AC=3x，AB=5x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠CAD=∠DAB，
∴弧DC=弧DB，
∴OD垂直平分BC，
∴OD∥AE，OG=AC=，
∴四边形ECGD为矩形，
∴CE=DG=OD-OG=x-x =x，
∴AE=AC+CE=3x+x=4x，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△DOF，
∴AE：OD=EF：OF，
∴EF：OF=4x：x=8：5，
∴．
点评：解答本题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角；相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.