题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③tan∠CAD=
．其中正确的结论有 （ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【答案】B
【解析】
①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出
，由AE=
AD=BC，推出
=，即CF=2AF；
④错误，设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有
，即b=
a，可得tan∠CAD=
=
即可得.
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴=，
∴CF=2AF，故②正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有
，即b=a，
∴tan∠CAD===
，故③错误，
所以正确的有2个，
故选B．
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