Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2 ．
（1）求AC的长度；
（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OF⊥AB，

∴∠BOF=90°，

∵∠B=30°，FO=2 ，

∴OB=6，AB=2OB=12，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC= AB=6

（2）解：∵由（1）可知，AB=12，

∴AO=6，即AC=AO，

在Rt△ACF和Rt△AOF中，

∴Rt△ACF≌Rt△AOF，

∴∠FAO=∠FAC=30°，

∴∠DOB=60°，

过点D作DG⊥AB于点G，

∵OD=6，∴DG=3 ，

∴S△ACF+S△OFD=S△AOD= ×6×3 =9 ，

即阴影部分的面积是9

【解析】（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出△ACF和△AOF全等，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．