Question

如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，设CD=a，BD=b，AB=c．
（1）猜想a，b，c之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你根据问题（1）提出一个问题，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由角平分线的定义不难得出△ABC∽△BCD，进而对应边成比例，求出a，b，c之间的数量关系；
（2）可提点D是AC的黄金分割点．

解答：解：（1）猜想b²=ac，其理由是：（2分）
在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°． （3分）
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=

1

2

∠ABC=36°=∠A．
∴∠BDC=∠C=72°． BC=BD=AD=b．
∴△ABC∽△BCD，
∴

AB

BC

=

BC

CD

即

c

b

=

b

a

，∴b²=ac． （5分）

（2）点D是AC的黄金分割点，其理由是：（7分）
∵b²=ac
∴AD²=CD•AC．
又∵点D在AC上
∴点D是AC的黄金分割点． （8分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质和角平分线的性质．