题目内容

【题目】如图,已知线段AB,P1是AB的黄金分割点(AP1>BP1),点O是AB的中点,P2是P1关于点O的对称点.求证:P1B是P2B和P1P2的比例中项.

【答案】见解析

【解析】

AB=2,根据黄金分割的定义得AP1=AB=,则P1B=3-,由点OAB的中点得OB=1,所以OP1=-2,由于P2P1关于点O的对称点,则P1P2=2-4,可计算出P2B=-1,然后同过计算得到P1B2=14-6,P2BP1P2=14-6,即P1B2=P2BP1P2,所以P1BP2BP1P2的比例中项.

证明:设AB=2,

P1AB的黄金分割点(AP1>BP1),

AP1=×2=﹣1,

P1B=2﹣(﹣1)=3﹣

∵点OAB的中点,

OB=1,

OP1=1﹣(3﹣)=﹣2,

P2P1关于点O的对称点,

P1P2=2(﹣2)=2﹣4,

P2B=2﹣4+3﹣=﹣1,

P1B2=(3﹣2=14﹣6,P2BP1P2=(﹣1)(2﹣4)=14﹣6

P1B2=P2BP1P2

P1BP2BP1P2的比例中项

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