Question

（2013•成都）如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，

AB

=

BC

，点E在

BC

上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=

c+

2

b

；当n=12时，p=

c+

6 + 2

2

b

．
（参考数据：sin15°=cos75°=

6 - 2

4

，cos15°=sin75°=

6 + 2

4

）

Answer 1

分析：如解答图所示，作辅助线，构造相似三角形．首先，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD，则△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形，所以△ABC∽△CED，得到

AC

BC

=

CD

EC

；其次，证明△ACD∽△BCE，得到

DA

EB

=

AC

BC

；由EA=ED+DA，整理得到p的通项公式为：p=c+2cos

180

n

•b．将n=4，n=12代入，即可求得答案．

解答：解：如解答图所示，连接AB、AC、BC．
由题意，点A、B、C为圆上的n等分点，
∴AB=BC，∠ACB=

1

2

×

360

n

=

180

n

（度）．
在等腰△ABC中，过顶点B作BN⊥AC于点N，
则AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos

180

n

•BC，
∴

AC

BC

=2cos

180

n

．
连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD．
∵∠ABC=∠CED，
∴△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形，
∴△ABC∽△CED．
∴

AC

BC

=

CD

EC

，∠ACB=∠DCE．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD与△BCE中，
∵

AC

BC

=

CD

EC

，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
∴

DA

EB

=

AC

BC

，
∴DA=

AC

BC

•EB=2cos

180

n

•EB．
∴EA=ED+DA=EC+2cos

180

n

•EB．
由折叠性质可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC．
∴p=c+2cos

180

n

•b．
当n=4时，p=c+2cos45°•b=c+

2

b；
当n=12时，p=c+2cos15°•b=c+

6 + 2

2

b．
故答案为：c+

2

b，c+

6 + 2

2

b．

点评：本题是几何综合题，难度很大．解决本题，需要综合运用圆、相似三角形、等腰三角形、三角函数、折叠性质等多个知识点，对几何综合能力要求很高．本题解答过程中，求得p的通项公式：p=c+2cos

180

n

•b，这样的结果更具普遍性；也可以按照题中要求，对于4等分或12等分的情况分别求解．