题目内容

如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD= $数学公式$ ．若线段OA的长是一元二次方程x²-7x-8=0的一个根，又2AB=30A．请解答下列问题：
（1）求点B、F的坐标；
（2）求直线ED的解析式：
（3）在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵x²-7x-8=0，
∴x_l=8，x₂=-1（舍）．
∴OA=8．
又∵2AB=30A，
∴AB=12．
∵∠EFD=90°．
∴∠DFB+∠EFA=∠EFA+∠AEF=90°．
∴∠AEF=∠DFB．
∵tan∠DFB=tan∠AEF= $\text{[math]}$
∴设AF=4k，AE=3k，
根据勾股定理得，EF=EO=5k，
3k+5k=8．
∴k=1．
∴AE=3，AF=4，EF=EO=5．
∴点B的坐标为（12，8），点F的坐标为（4，8）．

（2）过D作DH⊥AB，

设FH=x，
∴ $\text{[math]}$ =tan∠BFD= $\text{[math]}$ ，
解得：x=6，
∴AH=OD=10，
∴D（10，0）
设直线ED的解析式是y=kx+b．
∵直线ED经过（0，5），（10，0）两点，
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x+5；

（3）①如图，当CM₁∥DF时，
∵直线DF的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
∴直线CM1的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+16，
联立： $\text{[math]}$ ，
解得：x= $\text{[math]}$ ，y=- $\text{[math]}$ ，
∴M₁（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；
②当NM₂∥CD时，
此时点M₂与M₁关于点D对称，
∴M₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
综上可得：M₁（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），M₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据题意解方程x²-7x一8=0求出OA=8，再根据条件2AB=30A求出AB=12，这样就得到B点坐标，然后证出∠AEF=∠DFB，从而得到tan∠AEF= $\text{[math]}$ ，再根据折叠，利用勾股定理求出即可得到AF，AE的长，进而得到F点坐标．
（2）首先根据tan∠BFD= $\text{[math]}$ ，求出D点坐标，再利用待定系数法，把E，D两点坐标代入函数关系式，可得到直线ED的解析式．
（3）利用平行四边形的性质对边相等得出即可．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解法以及图形的翻折变换、平行四边形、矩形的性质以及解直角三角形，熟练地应用相关性质注意分类讨论思想的应用，不要漏解．