题目内容
如图,将矩形OABC放置在平面直角坐标系中,点D在边0C上,点E在边OA上,把矩形沿直线DE翻折,使点O落在边AB上的点F处,且tan∠BFD=
.若线段OA的长是一元二次方程x2-7x-8=0的一个根,又2AB=30A.请解答下列问题:
(1)求点B、F的坐标;
(2)求直线ED的解析式:
(3)在直线ED、FD上是否存在点M、N,使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵x2-7x-8=0,
∴xl=8,x2=-1(舍).
∴OA=8.
又∵2AB=30A,
∴AB=12.
∵∠EFD=90°.
∴∠DFB+∠EFA=∠EFA+∠AEF=90°.
∴∠AEF=∠DFB.
∵tan∠DFB=tan∠AEF=
∴设AF=4k,AE=3k,
根据勾股定理得,EF=EO=5k,
3k+5k=8.
∴k=1.
∴AE=3,AF=4,EF=EO=5.
∴点B的坐标为(12,8),点F的坐标为(4,8).
(2)过D作DH⊥AB,
设FH=x,
∴
=tan∠BFD=
,
解得:x=6,
∴AH=OD=10,
∴D(10,0)
设直线ED的解析式是y=kx+b.
∵直线ED经过(0,5),(10,0)两点,
∴
,
,
∴y=-
x+5;
(3)①如图,当CM1∥DF时,
∵直线DF的解析式为:y=-
x+
,
∴直线CM1的解析式为:y=-
x+16,
联立:
,
解得:x=
,y=-
,
∴M1(
,-
);
②当NM2∥CD时,
此时点M2与M1关于点D对称,
∴M2(
,
).
综上可得:M1(
,-
),M2(
,
).
分析:(1)根据题意解方程x2-7x一8=0求出OA=8,再根据条件2AB=30A求出AB=12,这样就得到B点坐标,然后证出∠AEF=∠DFB,从而得到tan∠AEF=
,再根据折叠,利用勾股定理求出即可得到AF,AE的长,进而得到F点坐标.
(2)首先根据tan∠BFD=
,求出D点坐标,再利用待定系数法,把E,D两点坐标代入函数关系式,可得到直线ED的解析式.
(3)利用平行四边形的性质对边相等得出即可.
点评:此题主要考查了一元二次方程的解法以及图形的翻折变换、平行四边形、矩形的性质以及解直角三角形,熟练地应用相关性质注意分类讨论思想的应用,不要漏解.
∴xl=8,x2=-1(舍).
∴OA=8.
又∵2AB=30A,
∴AB=12.
∵∠EFD=90°.
∴∠DFB+∠EFA=∠EFA+∠AEF=90°.
∴∠AEF=∠DFB.
∵tan∠DFB=tan∠AEF=

∴设AF=4k,AE=3k,
根据勾股定理得,EF=EO=5k,
3k+5k=8.
∴k=1.
∴AE=3,AF=4,EF=EO=5.
∴点B的坐标为(12,8),点F的坐标为(4,8).
(2)过D作DH⊥AB,

设FH=x,
∴


解得:x=6,
∴AH=OD=10,
∴D(10,0)
设直线ED的解析式是y=kx+b.
∵直线ED经过(0,5),(10,0)两点,
∴


∴y=-


∵直线DF的解析式为:y=-


∴直线CM1的解析式为:y=-

联立:

解得:x=


∴M1(


②当NM2∥CD时,
此时点M2与M1关于点D对称,
∴M2(


综上可得:M1(




分析:(1)根据题意解方程x2-7x一8=0求出OA=8,再根据条件2AB=30A求出AB=12,这样就得到B点坐标,然后证出∠AEF=∠DFB,从而得到tan∠AEF=

(2)首先根据tan∠BFD=

(3)利用平行四边形的性质对边相等得出即可.
点评:此题主要考查了一元二次方程的解法以及图形的翻折变换、平行四边形、矩形的性质以及解直角三角形,熟练地应用相关性质注意分类讨论思想的应用,不要漏解.

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