题目内容

(2004•重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABOD的边长为a,O为原点,点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上,直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上的一点C(,0)且与OE平行,现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.
(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系式;
(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系式,在这个范围内S有无最大值?若有,请求出最大值,若没有请说明理由.

【答案】分析:(1)易知BC=a,根据时间的取值范围和正方形的速度可知当0≤t<4时,B位于C点左侧.那么重合部分的多边形的面积可用平行四边形的面积-△NPQ的面积来求解.可先求出P、C的坐标,然后根据△PNQ与△PDO相似,用相似比求出面积比,进而得出△PNQ的面积.然后按上面所说的多边形的面积计算方法得出S,t的函数关系式;
(2)当4≤t≤5时,重合部分可用平行四边形COPG的面积-△PNQ的面积-△CB1R的面积来求得.方法同(1),得出S,t的函数关系后,可根据函数的性质和自变量的取值范围求出S的最大值及对应的t的值.
解答:解:(1)当0≤t<4时,如图1,由图可知OM=
设经过t秒后,正方形移动到A1B1MN
∵当t=4时,BB1=OM=×4=a
∴点B1在C点左侧
∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG,其面积为:
平行四边形COPG-△NPQ的面积.
∵CO=,OD=a
∴四边形COPG面积=a2
又∵点P的纵坐标为a,代入y=2x得P(,a)
∴DP=,NP=-t
由y=2x知:NQ=2NP
∴△NPQ面积=•NP•NQ=(-t)2
∴S=a2-(-t)2=a2-(5-t)2=[60-(5-t)2];

(2)当4≤t≤5时,如图2,这时正方形移动到A1B1MN
∵当4≤t≤5时,≤BB1,点B1在C、O点之间
∴夹在两平行线间的部分是B1OQNGR,
即平行四边形COPG被切掉了两个小三角形△NPQ和△CB1R,其面积为:
平行四边形COPG的面积-△NPQ的面积-△CB1R的面积
与(1)同理,OM=t,NP=-t,S△NPQ=(-t)2
∵CO=,CM=a+t,B1M=a,
∴CB1=CM-B1M=a+t-a=t-a,
∴S△CB1R=CB1•B1R=(CB12=(t-a)2,
∴S=a2-(a-t)2-(t-a)2=a2-[2(t-2+],
∴当t=时,S有最大值,Smax=a2
点评:本题考查二次函数与相似三角形、平行四边形、正方形、图形的面积求法等知识的综合运用.
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