Question

如图，已知锐角△ABC的边BC的长为6，面积为12，PQ∥BC，点P在AB上，点Q在AC上，四边形RPQS为正方形（RS与A在PQ的异侧），其边长为x，正方形RPQS与△ABC的公共面积为y．
（1）当正方形RPQS的边RS恰好落在BC上时，求边长x．

（2）当RS不落在BC上时，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中）

（3）求y的最大值．

Answer 1

解：（1）设△ABC的高为h，
∵△ABC的边BC的长为6，面积为12，
∴×h×BC=12，
∴h=4，
则△APQ的高=h-x=4-x，
∵PQ∥BC，四边形RPQS为正方形（RS与A在PQ的异侧），
∴△APQ∽△ABC，
∴=，即=，
解得x=2.4．
答；当正方形RPQS的边RS恰好落在BC上时，边长x为2.4；

（2）中RS不落在BC上意味着RS可以落在三角形的内部或外部两种情形．
①当RS落在三角形内时，如图（1），
y=x²
当RS落在三角形外时，如图（2），
过A作AE⊥BC于E交PQ于D，
同上　设PQ=x，则，，
∴，
∴DE=，
∴；

（3）①当RS落在△ABC外部时，
，
∴当x=3时，y有最大值是6；
②当RS落在BC边上时，由x=可知，y=，
③当RS落在△ABC内部时，y=x²（0＜x＜）
故比较以上三种情况可知，公共部分面积最大为6．
分析：（1）当RS落在BC上时，先求△ABC的BC边上的高，由△APQ∽△ABC，利用对应高的比等于相似比即可求出x；
（2）分为当RS落在△ABC的外部和内部两种情况，当RS在△ABC的外部时，由相似得公共部分的长、宽表示面积，当RS在△ABC的内部时，正方形面积即为公共部分面积；
（3）根据（1）（2）所求函数关系式，结合自变量取值范围分别求最大值，比较得出结论．
点评：本题考查了二次函数在求长方形面积中的应用，解答此题的关键是根据题意表示长方形的面积，再根据自变量的取值范围及二次函数的最值求法求解，本题还考查了分类讨论的教学思想．总之，这是一道非常典型的题目．