题目内容
把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
| 5 |
| 16 |
（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积
不变．
证明：连接CG，KH，
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，
∴CG=BG，CG⊥AB，
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK，
在△BGH与△CGK中，
∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK，S△BGH=S△CGK．
∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=
S△ABC=
×
×4×4=4，
即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；
（2）∵AC=BC=4，Bk=x，
∴CH=4-x，CK=x．
由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK，
得y=4-
x（4-x），
∴y=
x2-2x+4．
由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，
∴0＜x＜4；
（3）存在．
根据题意，得
x2-2x+4=
×8，
解这个方程，得x1=1，x2=3，
即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的
．
不变．证明：连接CG，KH，
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，
∴CG=BG，CG⊥AB，
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK，
在△BGH与△CGK中，
|
∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK，S△BGH=S△CGK．
∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；
（2）∵AC=BC=4，Bk=x，
∴CH=4-x，CK=x．
由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK，
得y=4-
| 1 |
| 2 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，
∴0＜x＜4；
（3）存在．
根据题意，得
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 16 |
解这个方程，得x1=1，x2=3，
即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的
| 5 |
| 16 |
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
