题目内容

【题目】用函数方法研究动点到定点的距离问题.

在研究一个动点Px0)到定点A10)的距离S时,小明发现:

Sx的函数关系为S并画出图像如图:

借助小明的研究经验,解决下列问题:

1)写出动点Px0)到定点B(-20)的距离S的函数表达式,并求当x取何值时,S取最小值?

2)设动点Px0)到两个定点M10)、N50)的距离和为y

①随着x增大,y怎样变化?

②当x取何值时,y取最小值,y的最小值是多少?

③当x<1时,证明y随着x增大而变化的规律.

【答案】1S,x=-2时,S的最小值为0;(2)①当x1时,yx增大而减小;当1x5时,y是一个固定的值;当x5时,yx增大而增大,②当1x5时,y取最小值,y的最小值是4,③当x1时,yx增大而减小.

【解析】

(1)根据x轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值,以及绝对值的意义可直接写出结论;

2)根据x轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值,得出PMPN的距离,它们之和即为y.①分情况讨论,根据一次函数的性质可得y的变化情况;根据y的变化情况可求;x<1时,,根据函数的增减性可得.

1S;∵当x<2时y随x增大而减小,当x>2时y随x的增大而增大,∴当x=-2时,S的最小值为0

2)由题意得y,根据绝对值的意义,

可转化为y

①当x1时,yx增大而减小;

1x5时,y是一个固定的值;

x5时,yx增大而增大.

②当1x5时,y取最小值,y的最小值是4

③当x1时,,∵-2<0

∴当x1时,yx增大而减小.

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