题目内容
【题目】用函数方法研究动点到定点的距离问题.
在研究一个动点P(x,0)到定点A(1,0)的距离S时,小明发现:
S与x的函数关系为S=并画出图像如图:
借助小明的研究经验,解决下列问题:
(1)写出动点P(x,0)到定点B(-2,0)的距离S的函数表达式,并求当x取何值时,S取最小值?
(2)设动点P(x,0)到两个定点M(1,0)、N(5,0)的距离和为y.
①随着x增大,y怎样变化?
②当x取何值时,y取最小值,y的最小值是多少?
③当x<1时,证明y随着x增大而变化的规律.
【答案】(1)S=,当x=-2时,S的最小值为0;(2)①当x<1时,y随x增大而减小;当1≤x≤5时,y是一个固定的值;当x>5时,y随x增大而增大,②当1≤x≤5时,y取最小值,y的最小值是4,③当x<1时,y随x增大而减小.
【解析】
(1)根据x轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值,以及绝对值的意义可直接写出结论;
(2)根据x轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值,得出PM和PN的距离,它们之和即为y.①分情况讨论,根据一次函数的性质可得y的变化情况;②根据y的变化情况可求;③当x<1时,,根据函数的增减性可得.
(1)S=;∵当x<2时y随x增大而减小,当x>2时y随x的增大而增大,∴当x=-2时,S的最小值为0.
(2)由题意得y=+
,根据绝对值的意义,
可转化为y=
①当x<1时,y随x增大而减小;
当1≤x≤5时,y是一个固定的值;
当x>5时,y随x增大而增大.
②当1≤x≤5时,y取最小值,y的最小值是4.
③当x<1时,,∵-2<0
∴当x<1时,y随x增大而减小.

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