题目内容
已知：正方形的边长为1（1）如图①，可以算出正方形的对角线为
？
（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；
（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°
注意：你完成整张试卷全部试题的解答后，如果还有时间在图③中发现新的结论（不准添加辅助线和其它字母）并加以证明，将酌情加1～3分．
分析：（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；
（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；
（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．
（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；
（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．
解答：解：（1）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长=
=
，
第二个图形中，对角线长=
=
，
第三个图形中，对角线长=
=
，
所以第n个图形中，对角线长=
；
（2）在△BCE中，BC=1，BE=
，EC=
，
在△BED中，BE=
，BD=2，ED=
，
所以
=
=
=
，
∴△BCE∽△BED；
（3）选取③，
∵CD∥EF，且CE=DF，
∴四边形CEFD为等腰梯形，
∴∠DFE=∠CEF，
∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．
| 2 |
| 12+1 |
第二个图形中，对角线长=
| 5 |
| 22+1 |
第三个图形中，对角线长=
| 10 |
| 32+1 |
所以第n个图形中，对角线长=
| n2+1 |
（2）在△BCE中，BC=1，BE=
| 2 |
| 5 |
在△BED中，BE=
| 2 |
| 10 |
所以
| BE |
| BC |
| BD |
| BE |
| ED |
| EC |
| 2 |
∴△BCE∽△BED；
（3）选取③，
∵CD∥EF，且CE=DF，
∴四边形CEFD为等腰梯形，
∴∠DFE=∠CEF，
∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．
点评：此题主要考查了相似的判定、勾股定理的运用、等腰梯形的性质．
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已知一个正方形的边长为a，面积为S，则（ ）
A、S=
| ||
| B、S的平方根是a | ||
| C、a是S的算术平方根 | ||
D、a=±
|
