Question

（2013•朝阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若cosD=

4

5

，BC=8，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）由同弧所对的圆周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由已知∠ODB=∠AEC，等量代换得到∠ABC=∠ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，等量代换得到∠OBD为直角，即可得到BD是圆O的切线；
（2）由OE垂直于BC，利用垂径定理得到BF为BC的一半，求出BF的长，由∠ODB=∠ABC，得到cosD=cos∠ABC，在直角三角形OBF中，由已知cosD的值及BF的长，利用锐角三角函数定义求出OB的长，即可求出AB的长．

解答：（1）证明：∵∠AEC与∠ABC都对

AC

，
∴∠AEC=∠ABC，
∵∠ODB=∠AEC，
∴∠ABC=∠ODB，
在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
则BD是圆O的切线；
（2）解：∵OE⊥BC，
∴BF=CF=

1

2

BC=4，
∵∠ODB=∠ABC，
∴cosD=cos∠ABC=

4

5

，
在Rt△OBF中，cos∠ABC=

BF

OB

，
∴OB=

4

4 5

=5，
则AB=20B=10．

点评：此题考查了切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．