题目内容

在Rt△ABC中，直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE，
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况．
（2）若AD、AB的长是方程x2﹣10x+24=0的根，求直角边BC的长．
解：（1）DE与半圆O相切．
证明：连接OD、OE．
∵O、E分别是BA、BC的中点，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAC．
∴∠BOE=∠EOD．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△OBE≌△ODE．
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切；
（2）∵在Rt△ABC中，BD⊥AC，
∴Rt△ABD∽Rt△ABC，
∴=，即AB2=AD·AC，
∴AC=．
∵AD，AB的长是方程x2﹣10x+24=0的两个根，
∴解方程x2﹣10x+24=0，得：x1=4，x2=6．
∵AD<AB，
∴AD=4，AB=6，
∵AC=，AD=4，AB=6，
∴AC=9，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=9．
∴BC===3．
练习册系列答案
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（2012•福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=
8-2t
8-2t
，PD=
4
3
t
4
3
t
．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．
（2009•荆州二模）如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
2
，另有一个等腰梯形DEFG（GF‖DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点，P点为AG上的一动点．
（1）填空：等腰梯形DEFG的面积为
6
6

（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图②）．
探究1：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEF′G′重叠部分的面积为y，直接写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围；
探究2：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，设过动点P且平分此菱形面积的直线交GF于去，当S△PGQ=
2
8
时，求P点的位置；若不能，请说明理由．
（2012•咸丰县二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，分别以AC、BC为直经作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于（　　）
如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分别是AB、AC上的两点，且GF∥BC，AF=2，BG=4．
（1）求梯形BCFG的面积；
（2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②．
①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时G'B2的值；
②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S．精英家教网
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
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，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
（1）填空：GF的长度为
2
2
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，等腰梯形DEFG的面积为
6
6
．
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF’G’（如图2）
探究：在运动过程中，四边形BDG’G能否为菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．

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