题目内容
(2012•福州)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=
t
t.
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.
(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=
8-2t
8-2t
,PD=4 |
3 |
4 |
3 |
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.
分析:(1)根据题意得:CQ=2t,PA=t,由Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,PD∥BC,即可得tanA=
=
=
,则可求得QB与PD的值;
(2)易得△APD∽△ACB,即可求得AD与BD的长,由BQ∥DP,可得当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,即可求得此时DP与BD的长,由DP≠BD,可判定?PDBQ不能为菱形;然后设点Q的速度为每秒v个单位长度,由要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,列方程即可求得答案;
(3)设E是AC的中点,连接ME.当t=4时,点Q与点B重合,运动停止.设此时PQ的中点为F,连接EF,由△PMN∽△PQC.利用相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.
PD |
PA |
BC |
AC |
4 |
3 |
(2)易得△APD∽△ACB,即可求得AD与BD的长,由BQ∥DP,可得当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,即可求得此时DP与BD的长,由DP≠BD,可判定?PDBQ不能为菱形;然后设点Q的速度为每秒v个单位长度,由要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,列方程即可求得答案;
(3)设E是AC的中点,连接ME.当t=4时,点Q与点B重合,运动停止.设此时PQ的中点为F,连接EF,由△PMN∽△PQC.利用相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.
解答:解:(1)根据题意得:CQ=2t,PA=t,
∴QB=8-2t,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,PD∥BC,
∴∠APD=90°,
∴tanA=
=
=
,
∴PD=
t.
故答案为:(1)8-2t,
t.
(2)不存在
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=10
∵PD∥BC,
∴△APD∽△ACB,
∴
=
,即
=
,
∴AD=
t,
∴BD=AB-AD=10-
t,
∵BQ∥DP,
∴当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,
即8-2t=
,解得:t=
.
当t=
时,PD=
×
=
,BD=10-
×
=6,
∴DP≠BD,
∴?PDBQ不能为菱形.
设点Q的速度为每秒v个单位长度,
则BQ=8-vt,PD=
t,BD=10-
t,
要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,
当PD=BD时,即
t=10-
t,解得:t=
当PD=BQ,t=
时,即
×
=8-
v,解得:v=
当点Q的速度为每秒
个单位长度时,经过
秒,四边形PDBQ是菱形.
(3)如图2,以C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
依题意,可知0≤t≤4,当t=0时,点M1的坐标为(3,0),当t=4时点M2的坐标为(1,4).
设直线M1M2的解析式为y=kx+b,
∴
,
解得
,
∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6.
∵点Q(0,2t),P(6-t,0)
∴在运动过程中,线段PQ中点M3的坐标(
,t).
把x=
代入y=-2x+6得y=-2×
+6=t,
∴点M3在直线M1M2上.
过点M2作M2N⊥x轴于点N,则M2N=4,M1N=2.
∴M1M2=2
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2
单位长度.
∴QB=8-2t,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,PD∥BC,
∴∠APD=90°,
∴tanA=
PD |
PA |
BC |
AC |
4 |
3 |
∴PD=
4 |
3 |
故答案为:(1)8-2t,
4 |
3 |
(2)不存在
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=10
∵PD∥BC,
∴△APD∽△ACB,
∴
AD |
AB |
AP |
AC |
AD |
10 |
t |
6 |
∴AD=
5 |
3 |
∴BD=AB-AD=10-
5 |
3 |
∵BQ∥DP,
∴当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,
即8-2t=
4t |
3 |
12 |
5 |
当t=
12 |
5 |
4 |
3 |
12 |
5 |
16 |
5 |
5 |
3 |
12 |
5 |
∴DP≠BD,
∴?PDBQ不能为菱形.
设点Q的速度为每秒v个单位长度,
则BQ=8-vt,PD=
4 |
3 |
5 |
3 |
要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,
当PD=BD时,即
4 |
3 |
5 |
3 |
10 |
3 |
当PD=BQ,t=
10 |
3 |
4 |
3 |
10 |
3 |
10 |
3 |
16 |
15 |
当点Q的速度为每秒
16 |
15 |
10 |
3 |
(3)如图2,以C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
依题意,可知0≤t≤4,当t=0时,点M1的坐标为(3,0),当t=4时点M2的坐标为(1,4).
设直线M1M2的解析式为y=kx+b,
∴
|
解得
|
∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6.
∵点Q(0,2t),P(6-t,0)
∴在运动过程中,线段PQ中点M3的坐标(
6-t |
2 |
把x=
6-t |
2 |
6-t |
2 |
∴点M3在直线M1M2上.
过点M2作M2N⊥x轴于点N,则M2N=4,M1N=2.
∴M1M2=2
5 |
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2
5 |
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
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