题目内容
如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AT平分∠BAC；
（2）若AD=2，TC=
，求⊙O的半径．
（1）求证：AT平分∠BAC；
（2）若AD=2，TC=
| 3 |
（1）证明：连接OT；
∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ，
又∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠ATO；
又∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
∴∠OAT=∠TAC，
即AT平分∠BAC．
（2）过点O作OM⊥AC于M，
∴AM=MD=
=1；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC=
，
∴在Rt△AOM中，
AO=
=
=2；
即⊙O的半径为2．
∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ，
又∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠ATO；
又∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
∴∠OAT=∠TAC，
即AT平分∠BAC．
（2）过点O作OM⊥AC于M，
∴AM=MD=
| AD |
| 2 |
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC=
| 3 |
∴在Rt△AOM中，
AO=
| OM2+AM2 |
| 3+1 |
即⊙O的半径为2．
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