Question

【题目】如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1、A2、A3…An，….将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1、M2、M3、…Mn，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1、A2、A3…An、….则顶点M2014的坐标为______________．

Answer 1

【答案】(4027，4027)

【解析】试题解析：M1（a1，a 1）是抛物线y1=（x- a 1）2+a1的顶点，

抛物线y=x2与抛物线y1=（x- a 1）2+ a 1相交于A1，

得x2=（x- a 1）2+ a 1，

即2a1x= a 12+ a 1，

x=（a1+1）．

∵x为整数点

∴a1=1，

M1（1，1）；

M2（a2，a 2）是抛物线y2=（x- a 2）2+ a 2=x2-2 a 2x+ a 22+ a 2顶点，

抛物线y=x2与y2相交于A2，

x2=x2-2 a 2x+ a 22+ a 2，

∴2 a 2x= a 22+ a 2，

x=（a 2+1）．

∵x为整数点，

∴a 2=3，

M2（3，3），

M3（a 3，a 3）是抛物线y2=（x- a 3）2+ a 3=x2-2 a 3x+ a 32+ a 3顶点，

抛物线y=x2与y3相交于A3，

x2=x2-2 a 3x+ a 32+ a 3，

∴2 a 3x= a 32+ a 3，

x=（a 3+1）．

∵x为整数点

∴a 3=5，

M3（5，5），

∴点M2014，两坐标为：2014×2-1=4027，

∴M2014（4027，4027），