Question

【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣﹣x+1；（2）；（3）当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．

【解析】

试题分析：方法一：

（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；

（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．

方法二：

（1）略．

（2）求出点M，N的参数坐标，并得到MN的长度表达式，从而求出MN的最大值．

（3）因为BM与NC相互垂直平分，所以四边形BCMN为菱形，因为MN∥BC，所以只需MN=BC可得出四边形BCMN为平行四边形，再利用NC⊥BM进行求解．

方法一：

解：（1）由直线y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，

根据题意得：，

解得：，

则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；

（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），

则M（x，﹣x+1），P（x，0）．

∴MN=PN﹣PM

=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）

=﹣x2﹣x

=﹣（x+）2+，

则当x=﹣时，MN的最大值为；

（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，

即四边形BCMN是菱形，

则MN=BC，且BC=MC，

即﹣x2﹣x=，

且（﹣x+1）2+（x+3）2=，

解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．

故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．

方法二：

（1）略．

（2）设N（t，﹣），

∴M（t，﹣t+1），

∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1，

∴MN=﹣，

当t=﹣时，MN有最大值，MN=．

（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．

∴NC⊥BM且MN=BC=，

即﹣=，

∴t1=﹣1，t2=﹣2，

①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），

∴KNC==2，

∵KAB=﹣，

∴KNC×KAB=﹣1，

∴NC⊥BM．

②t2=﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），

∴KNC==，KAB=﹣，

∴KNC×KAB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．

∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．