Question

【题目】已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A．B．C．D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“和谐正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个“和谐正方形”．

（1）如图1，若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有“和谐正方形”的边长；

（2）如图2，若某函数是反比例函数y＝（k＞0），它的图象的“和谐正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；

（3）如图3，若某函数是二次函数y＝ax2+c（a≠0），它的图象的“和谐正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请求出该二次函数的解析式．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）1，y＝；（3）或或或

【解析】

（1）利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意有两种情况．

（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．

（3）由题意得抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论．

解：（1）（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：

∵四边形ABCD是正方形，一次函数y＝x+1的图象与坐标轴的交点为C，D，

∴D（0，.1），C（﹣1，0），

∴OD＝OD＝1，

∴＝ ＝ ，

∴正方形ABCD的边长为．

（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：

设正方形边长为a，易得3a＝，

解得a＝ ，此时正方形的边长为 ．

∴所求“和谐正方形”的边长为或；

（2）如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CBA＝∠DAB＝90°，BC＝BA＝AD，

∵∠CFB＝∠BOA＝∠DEA＝90°

∴∠FBC＝∠BAO＝∠ADE，

∴△ADE≌△BAO≌△CBF（AAS）．

∵点D的坐标为（2，m），m＜2，

∴DE＝OA＝BF＝m，

∴OB＝AE＝CF＝2﹣m．

∴OF＝BF+OB＝2，

∴点C的坐标为（2﹣m，2）．

∴2m＝2（2﹣m），解得m＝1．

∴反比例函数的解析式为y＝；

（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合，

①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y＝；

②当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，

③当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在；

④当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y＝；

⑤当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y＝；

⑥当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y＝；

综合以上可得二次函数的解析式分别为：或或或