题目内容

操作:小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒,现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计:
 
说明:方案一:图形中的圆过点A、B、C;
方案二:直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合,斜边经过两个正方形的顶点.
纸片利用率=×100%
发现:(1)方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点.
你认为小明的这个发现是否正确,请说明理由.
(2)小明通过计算,发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%.
请帮忙计算方案二的利用率,并写出求解过程.
探究:
(3)小明感觉上面两个方案的利用率均偏低,又进行了新的设计(方案三),请直接写出方案三的利用率.
见解析
说明:方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点.
解:发现:(1)小明的这个发现正确.
理由:
解法一:如图一:连接AC、BC、AB,

∵AC=BC=,AB=
∴AC2+BC2=AB2
∴∠BCA=90°,
∴AB为该圆的直径.
解法二:如图二:连接AC、BC、AB.
易证△AMC≌△BNC,
∴∠ACM=∠CBN.
又∵∠BCN+∠CBN=90°,
∴∠BCN+∠ACM=90°,
即∠BCA=90°,
∴AB为该圆的直径.

(2)如图三:∵DE=FH,DE∥FH,
∴∠AED=∠EFH,
∵∠ADE=∠EHF=90°,
∴△ADE≌△EHF(ASA),
∴AD=EH=1.
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB,
=
=
∴BC=8,
∴S△ACB=16.
∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=37.5%;
探究:
(3)过点C作CD⊥EF于D,过点G作GH∥AC,交BC于点H,

设AP=a,
∵PQ∥EK,
易得△APQ∽△KQE,△CEF是等腰三角形,△GHL是等腰三角形,
∴AP:AQ=QK:EK=1:2,
∴AQ=2a,PQ=a,
∴EQ=5a,
∵EC:ED=QE:QK,
∴EC=a,
则PG=5a+a=a,GL=a,
∴GH=a,

解得:GB=a,
∴AB=a,AC=a,
∴S△ABC=×AB×AC=a2
S展开图面积=6×5a2=30a2
∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=49.86%.
(1)连接AC、BC、AB,由AC=BC=,AB=,根据勾股定理的逆定理,即可求得∠BAC=90°,又由90°的圆周角所对的弦是直径,则可证得AB为该圆的直径;
(2)首先证得△ADE≌△EHF与△ADE∽△ACB,即可求得AD与BC的长,求得△ABC的面积,即可求得该方案纸片利用率;
(3)利用方案(2)的方法,分析求解即可求得答案.
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