题目内容
23、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以3cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点以1cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t （s）．（1）当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
①当t为何值时，以CD、PQ为两边，以梯形的底（AD或BC）的一部分（或全部）为第三边能构成一个三角形；②当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．
（2）若点P从点A开始沿射线AD运动，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动．当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）①能组成三角形，则需要有三条边，可得当点P与点A重合时与点P与点D重合时两种情况可组成三角形，求解即可得到t的值；
②由BC-CD=2cm，可知当CQ-PD=4cm时，四边形PQCD为等腰梯形，列方程求解即可；
（2）根据题意可知：当P在线段AD上，则当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，P在线段AD的延长线上，则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，所以列方程求解即可．
②由BC-CD=2cm，可知当CQ-PD=4cm时，四边形PQCD为等腰梯形，列方程求解即可；
（2）根据题意可知：当P在线段AD上，则当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，P在线段AD的延长线上，则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，所以列方程求解即可．
解答：解：（1）①根据题意得：
当点P与点A重合时能构成一个三角形，此时t=0，
∵点P到达D点需：8（s），
点Q到达B点需：26（s），
∴当点P与点D重合时能构成一个三角形，此时t=8s；
故当t=0或8s时，以CD、PQ为两边，以梯形的底（AD或BC）的一部分（或全部）为第三边能构成一个三角形；
②∵BC-AD=2cm，
∴当CQ-PD=4cm时，四边形PQCD为等腰梯形，
∴t-（24-3t）=4，
∴t=7（s），
∴当t=7s时，四边形PQCD为等腰梯形；
（2）如果P在线段AD上，则当PD=CQ四边形PQCD为平行四边形，
∴24-3t=t，
解得：t=6（s），
∴当t=6s时，四边形PQCD为平行四边形；
如果P在线段AD的延长线上，
则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，
即3t-24=t，
解得：t=12（s），
∴当t=6或12s时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
当点P与点A重合时能构成一个三角形，此时t=0，
∵点P到达D点需：8（s），
点Q到达B点需：26（s），
∴当点P与点D重合时能构成一个三角形，此时t=8s；
故当t=0或8s时，以CD、PQ为两边，以梯形的底（AD或BC）的一部分（或全部）为第三边能构成一个三角形；
②∵BC-AD=2cm，
∴当CQ-PD=4cm时，四边形PQCD为等腰梯形，
∴t-（24-3t）=4，
∴t=7（s），
∴当t=7s时，四边形PQCD为等腰梯形；
（2）如果P在线段AD上，则当PD=CQ四边形PQCD为平行四边形，
∴24-3t=t，
解得：t=6（s），
∴当t=6s时，四边形PQCD为平行四边形；
如果P在线段AD的延长线上，
则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，
即3t-24=t，
解得：t=12（s），
∴当t=6或12s时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
点评：此题考查了等腰梯形的判定与性质与平行四边形的判定与性质等知识．题目属于运动类题目，难度较大，解题时需要仔细识图，注意合理应用数形结合思想．
练习册系列答案
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