题目内容
【题目】已知⊙O的直径AB=10,弦BC=6,点D在⊙O上(与点C在AB两侧),过D作⊙O的切线PD.
(1)如图①,PD与AB的延长线交于点P,连接PC,若PC与⊙O相切,求弦AD的长;
(2)如图②,若PD∥AB,
①求证:CD平分∠ACB;
②求弦AD的长.
【答案】(1)AD=8;(2)①证明见解析;②AD=5.
【解析】
(1)先求得∠ACB=90°,根据勾股定理求得AC,根据切线的性质求得PD=PC,∠APC=∠APD,然后根据SAS求得△APC≌△APD,即可求得AD=AC=8;(2)连接OD、BD,根据切线的性质得出OD⊥PD,进而求得OD⊥AB,根据垂直平分线的性质求得AD=BD,从而求得CD平分∠ACB.根据勾股定理即可求得弦AD的长.
(1)解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC==8,
∵PD、PC是⊙O的切线,
∴PD=PC,∠APC=∠APD,
在△APC和△APD中,
,
∴△APC≌△APD(SAS),
∴AD=AC=8.
(2)证明:①连接OD、BD,
∵PD是⊙O的切线,
∴OD⊥PD,
∵PD∥AB,
∴OD⊥AB,
∴,
∴AD=BD,∠ACD=∠BCD,
∴CD平分∠ACB.
②∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
在RT△ADB中,AD2+BD2=AB2,
∴2AD2=102,
∴AD=5.
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