Question

在△ABC中，∠ACB=90°，是AB上一点，M是CD的中点，若∠AMD=∠BMD，求证：∠CDA=2∠ACD．

Answer 1

证明：过A作CD的平行线，交BC的延长线于P，连AP，交BM的延长线于N，连接NC，
∵CM=MD，
∴PN=NA，
∵∠PCA=90°，
∴CN=PN=NA．
∴∠ACM=∠CAN=∠NCA，
∴∠NCM=2∠ACM （1），
∵∠MAN=∠AMD=∠BMD=∠MNA，
∴MA=MN，
∵MD=MC，MA=MN，
∠AMD=∠BMD=∠NMC，
∴△MAD≌△MNC，
∴∠MDA=∠MCN （2），
由（1）与（2）得∠CDA=2∠ACD．
分析：过A作CD的平行线，交BC的延长线于P，连AP，交BM的延长线于N，连接NC，先求证∠NCM=2∠ACM（1），利用△MAD≌△MNC，得出∠MDA=∠MCN（2），由（1）与（2）得∠CDA=2∠ACD．
点评：此题考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是：过A作CD的平行线，交BC的延长线于P，连AP，交BM的延长线于N．