Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
（1）若m为常数，求抛物线的解析式；
（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点；
（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a．
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB=4，
∴C（m，-2）代入得a=．
∴解析式为：y=（x-m）²-2．
（亦可求C点，设顶点式）

（2）∵m为小于零的常数，
∴只需将抛物线向右平移|m|个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y=（x-m）²-2顶点在坐标原点．

（3）由（1）得D（0，m²-2），设存在实数m，使得△BOD等腰三角形．
∵△BOD为直角三角形，
∴只能OD=OB．
m²-2=|m+2|，当m+2＞0时，解得m=4或m=-2（舍）．
当m+2＜0时，解得m=0或m=-2（舍）；
∵m=0时，D点坐标为（0，-2），在y轴的负半轴，
∴m=0舍去；
m=2，D点坐标为（0，0），也不合题意舍去；
当m+2=0时，即m=-2时，B、O、D三点重合（不合题意，舍）
综上所述：存在实数m=4，使得△BOD为等腰三角形．
分析：（1）由题点是未知的，因为抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0），可以把抛物线设为两点式，根据AC⊥BC的关系解出C点坐标从而得到抛物线解析式；
（2）用图象平移，m为小于零的常数，只需将抛物线向右平移|m|个单位，再向上平移2个单位就可以了；
（3）假设存在，求出△BOD三个顶点坐标，则有两边相等，从而解出m．
点评：此题考查抛物性质，巧妙设抛物线解析式，还考了三角形垂直性质和抛物线的平移，最后探究存在性问题．