Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点（m为常数），记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若m小于0，那么（2）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

Answer 1

分析：（1）设对称轴与x轴的交点为E，根据点A、B的坐标求出AB的长度以及对称轴解析式，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE的长度，从而得解；
（2）根据顶点坐标设出抛物线的顶点式解析式，然后把点A的坐标代入解析式求解即可；
（3）根据m＜0判断出顶点所在的象限，然后根据点的平移变换解答．

解答：解：（1）如图，∵A（m-2，0），B（m+2，0），
∴AB=（m+2）-（m-2）=m+2-m+2=4，
∵

m+2+m-2

2

=m，
∴抛物线对称轴为x=m，
∵抛物线顶点为C，且AC⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，且CE=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴点C的坐标为（m，-2）；

（2）设抛物线解析式为y=a（x-m）²-2，
则a（m-2-m）²-2=0，
解得a=

1

2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

（x-m）²-2；

（3）∵m＜0，
∴顶点坐标（m，-2）在第三象限，
∴抛物线y=

1

2

（x-m）²-2向右平移（-m）个单位，向上平移2个单位可以使顶点在坐标原点．

点评：本题是对二次函数的综合考查，点的坐标，两点间的距离，待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点式解析式的利用，以及平移变换的性质，难度不大，熟悉用字母表示数是解题的关键．