Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，C（m，-2）为抛物线顶点，且AC⊥BC．
（1）若m是常数，求抛物线的解析式；
（2）设抛物线交y轴正半轴于D点，抛物线的对称轴交x轴于E点．问是否存在实数m，使得△EOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m）²-2，由AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，可解得B点坐标，进而求出a的值．（2）设存在实数m，使得△EOD为等腰三角形，由（1）知D点坐标，
若△EOD为等腰三角形，只能OD=OE，分类点E在x轴位置情况，求出m的值．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m）²-2，
∵AC⊥BC，
∵由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，
又∵AB=4，
∴B（m+2，0）
代入y=a（x-m）²-2，得a=

1

2

．
∴解析式为：y=

1

2

x2-mx+

1

2

m2-2．
（2）由（1）得D（0，

1

2

m²-2），
设存在实数m，使得△EOD为等腰三角形．
∵△EOD为等腰三角形，
∴只能OD=OE．
①当点E在x轴正半轴，
∵m＞0时，∴

1

2

m²-2=m．
解得m=1+

5

或m=1-

5

（舍）．
②当点E在x轴负半轴，∵m＜0时，∴

1

2

m²-2=-m．
解得m=-1-

5

或m=-1+

5

（舍）；
③当点E在原点，即m=0时，B、O、D三点共线（不合题意，舍）
综上所述：存在实数m=1+

5

或m=-1-

5

，使得△EOD为等腰三角形．

点评：本题二次函数的综合题，涉及到知识点求解抛物线的解析式，分类讨论思想，此题不是很难，但要仔细．