题目内容
如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：
0=﹣16+4b+3
得：b=
所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+
x+3．
当x=0时，y=3
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图：
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，
则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4﹣x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2
即：x2=32+（4﹣x）2
解得：x=
∴OP=4﹣
=
所以点P的坐标为：（
，0）
综上可得点P的坐标为（
，0）．
0=﹣16+4b+3
得：b=
所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+
x+3．当x=0时，y=3
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图：
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，
则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4﹣x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2
即：x2=32+（4﹣x）2
解得：x=
∴OP=4﹣
=所以点P的坐标为：（
，0）综上可得点P的坐标为（
，0）．
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