Question

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N，将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN，在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式。

Answer 1

解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c
由题意得
解得
∴二次函数的解析式为y=x²-8x+12，
点P的坐标为（4，-4）。
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形
理由如下：当y=0时，x²-8x+12=0
∴x₁=2，x₂=6
∴点B的坐标为（6，0）
设直线BP的解析式为y=kx+m
则
解得
∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP
∵顶点坐标P（4， -4）
∴OP=4
设D（x，2x）
则BD²=（2x）²+（6-x）²
当BD=OP时，（2x）²+（6-x）²=32
解得：x₁=，x₂=2
当x₂=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去
∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形
∴当D（，）时，四边形OPBD为等腰梯形。
（3）① 当0＜t≤2时，
 ∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，
则MP=t
∴PH=t，MH=t，HN=t
∴MN=t
∴S=t·t·=t²；
②当2＜t＜4时，P₁G=2t-4，P₁H=t
∵MN∥OB
∴∽
∴
∴
∴=3t²-12t+12
∴S=t²-（3t²-12t+12）=-t²+12t-12
∴ 当0＜t≤2时，S=t²
当2＜t＜4时，S=-t²+12t-12。