Question

已知函数y=x²+2x+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是x₁，x₂，且x₁²+x₂²=c²-2c，求c及x₁，x₂的值．

Answer 1

分析：由函数y=x²+2x+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是x₁，x₂，联想到方程x²+2x+c=0有两个不相等的实数根是x₁，x₂，而一元二次方程有实数根的前提是△=2²-4c＞0即c＜1，再利用已知条件和两根关系解题．

解答：解：令y=0，即x²+2x+c=0，当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与x轴有两个交点．
此时2²-4c＞0，即c＜1．
由已知

x1+x2=-2 x1x2=c

，
∵x₁²+x₂²=c²-2c，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=c²-2c，
∴（-2）²-2c=c²-2c，
∴c²=4，
∴c₁=-2，c₂=2（舍去）．
当c=-2时，x²+2x-2=0，解得x₁=-1+

3

，x₂=-1-

3

．
综上：c=-2，x₁=-1+

3

，x₂=-1-

3

为所求．

点评：主要考查了二次函数图象与x轴的两交点的横坐标和一元二次方程根与系数之间的关系．