题目内容
【题目】已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于H，过A作AG⊥AC交CM于G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，
①若∠GAB=36°，则∠MCD=______．
②猜想：∠GAB与∠MCD之间的数量关系是______．
（2）如图2，点G在CH上时，（1）②猜想的∠GAB与∠MCD之间的数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出∠GAB与∠MCD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①63°；②2∠MCD-∠GAB=90°；（2）2∠MCD+∠GAB=90°，理由见解析．
【解析】
（1）①依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；
②设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，则∠AGC=∠AHC-∠GAB=α-β，依据Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即可得出∠GAB与∠MCD之间的数量关系；
（2）设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，则∠AGC=∠AHC+∠GAB=α+β，依据Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即可得出∠GAB与∠MCD之间的数量关系．
解：（1）①∵AG⊥AC，∠GAB=36°，
∴∠CAH=90°-36°=54°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=180°-∠CAH=126°
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠MCD=
∠ACD=63°，
故答案为：63°；
②∠GAB与∠MCD之间的数量关系是2∠MCD-∠GAB=90°；
理由：∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH=∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠AHC=∠DCM，
∴∠ACH=∠AHC，
设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，
则∠AGC=∠AHC-∠GAB=α-β，
∵GA⊥AC，
∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即α+α-β=90°，
∴2α-β=90°，即2∠MCD-∠GAB=90°；
故答案为：2∠MCD-∠GAB=90°；
（2）上述∠GAB与∠MCD之间的数量关系不成立，应该为2∠MCD+∠GAB=90°，
理由：∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH=∠DCH，
∵AB∥CD，
∴∠AHC=∠DCH，
∴∠ACH=∠AHC，
设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，
则∠AGC=∠AHC+∠GAB=α+β，
∵GA⊥AC，
∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即α+α+β=90°，
∴2α+β=90°，即2∠MCD+∠GAB=90°
