题目内容
【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=2 
，∠BAC=120°，点D，E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为 ． 
【答案】3 
﹣3
【解析】（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．
∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，
∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．
在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2 ，
∴AN= 
AB= ，BN= 
=3，
∴BC=6．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中， 
，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，
∴设CE=2x，则CM=x，EM= x，FM=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x．
在Rt△EFM中，FE=6﹣6x，FM=3x，EM= x，
∴EF2=FM2+EM2，即（6﹣6x）2=（3x）2+（ x）2，
解得：x1= 
，x2= 
（不合题意，舍去），
∴DE=6﹣6x=3 ﹣3．
所以答案是：3 ﹣3．
（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．
∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，
∴∠ECG=60°．
∵CF=BD=2CE，
∴CG=CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG=CG=FG，
∴∠EFG=∠FEG= ∠CGE=30°，
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中， ，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
设EC=x，则BD=CD=2x，DE=FE=6﹣3x，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，
EF= 
= x，
∴6﹣3x= x，
x=3﹣ ，
∴DE= x=3 ﹣3．
所以答案是：3 ﹣3．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和旋转的性质，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．
