题目内容

(2012•沈阳)已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段0B于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=-
2
x2+mx+n的图象经过A,C两点.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)求证:∠BEF=∠AOE;
(3)当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;
(4)在(3)的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的(2
2
+1)倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)首先求出点C的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)利用三角形外角性质,易证∠BEF=∠AOE;
(3)当△EOF为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论,注意不要漏解;
(4)本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标,要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比.如图④所示,首先证明点E为DF的中点,然后作x轴的平行线FN,则△EDG≌△EFN,从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE:NE;过点P作x轴垂线,可依次求出线段PT、PM的长度,从而求得点P的纵坐标;最后解一元二次方程,确定点P的坐标.
解答:解:(1)如图①,∵A(-2,0)B(0,2)
∴OA=OB=2,
∴AB2=OA2+OB2=22+22=8
∴AB=2
2

∵OC=AB
∴OC=2
2
,即C(0,2
2

又∵抛物线y=-
2
x2+mx+n的图象经过A、C两点
则可得
-4
2
-2m+n=0
n=2
2

解得
m=-
2
n=2
2

∴抛物线的表达式为y=-
2
x2-
2
x+2
2


(2)∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE,
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF,
∴∠BEF=∠AOE.

(3)当△EOF为等腰三角形时,分三种情况讨论
①当OE=OF时,∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中,∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
则此时点E与点A重合,不符合题意,此种情况不成立.
②如图2,当FE=FO时,
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中,
∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°
∴EF∥AO,
∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由(2)可知,∠ABO=45°
∴∠BEF=∠ABO,
∴BF=EF,
EF=BF=
1
2
OB=
1
2
×2=1 
∴E(-1,1)
③如图③,当EO=EF时,过点E作EH⊥y轴于点H
在△AOE和△BEF中,
∠EAO=∠FBE,EO=EF,∠AOE=∠BEF
∴△AOE≌△BEF,
∴BE=AO=2
∵EH⊥OB,
∴∠EHB=90°,
∴∠AOB=∠EHB
∴EH∥AO,
∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中,∵∠BEH=∠ABO=45°
∴EH=BH=BEcos45°=2×
2
2
=
2

∴OH=OB-BH=2-
2
∴E(-
2
,2-
2

综上所述,当△EOF为等腰三角形时,所求E点坐标为E(-1,1)或E(-
2
,2-
2
).

(4)假设存在这样的点P.
当直线EF与x轴有交点时,由(3)知,此时E(-
2
,2-
2
).
如图④所示,过点E作EH⊥y轴于点H,则OH=FH=2-
2

由OE=EF,易知点E为Rt△DOF斜边上的中点,即DE=EF,
过点F作FN∥x轴,交PG于点N.
易证△EDG≌△EFN,因此S△EFN=S△EDG
依题意,可得
S△EPF=(2
2
+1)S△EDG=(2
2
+1)S△EFN
∴PE:NE=(2
2
+1):1.
过点P作PM⊥x轴于点M,分别交FN、EH于点S、T,则ST=TM=2-
2

∵FN∥EH,
∴PT:ST=PE:NE=2
2
+1,
∴PT=(2
2
+1)•ST=(2
2
+1)(2-
2
)=3
2
-2;
∴PM=PT+TM=2
2
,即点P的纵坐标为2
2

∴-
2
x2-
2
x+2
2
=2
2

解得x1=0,x2=-1,
∴P点坐标为(0,2
2
)或(-1,2
2
).
综上所述,在直线EF上方的抛物线上存在点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的(2
2
+1)倍;
点P的坐标为(0,2
2
)或(-1,2
2
).
点评:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形、直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质等重要的知识点,难度较大.第(2)问注意分类讨论思想的应用,注意不要漏解;第(3)问中,将三角形面积之比转化为线段之比,这是解题的重要技巧,也是本题的难点.
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