题目内容

(2012•沈阳)已知,如图,在平面直角坐标系内,点A的坐标为(0,24),经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B,点B坐标为(18,6).
(1)求直线l1,l2的表达式;
(2)点C为线段OB上一动点(点C不与点O,B重合),作CD∥y轴交直线l2于点D,过点C,D分别向y轴作垂线,垂足分别为F,E,得到矩形CDEF.
①设点C的纵坐标为a,求点D的坐标(用含a的代数式表示)
②若矩形CDEF的面积为60,请直接写出此时点C的坐标.
分析:(1)设直线l1的表达式为y=k1x,它过(18,6)可求出k1的值,进而得出其解析式;设直线l2的表达式为y=k2+b,由于它过点A(0,24),B(18,6),故把此两点坐标代入即可求出k2,b的值,进而得出其解析式;
(2)①因为点C在直线l1上,且点C的纵坐标为a,故把y=a代入直线l1的表达式即可得出x的值,进而得出C点坐标,由于CD∥y轴,所以点D的横坐标为3a,再根据点D在直线l2上即可得出点D的纵坐标,进而得出结论;
②先根据CD两点的坐标用a表示出CF及CD的值,由矩形的面积为60即可求出a的值,进而得出C点坐标.
解答:解:(1)设直线l1的表达式为y=k1x,它过(18,6)得18k1=6  k1=
1
3

∴y=
1
3
x
设直线l2的表达式为y=k2x+b,它过点A(0,24),B(18,6)
b=24
18k2+b=6
  解得
k2=-1
b=24

∴直线l2的表达式为:y=-x+24;

(2)①∵点C在直线l1上,且点C的纵坐标为a,
∴a=
1
3
x  x=3a,
∴点C的坐标为(3a,a),
∵CD∥y轴
∴点D的横坐标为3a,
∵点D在直线l2上,
∴y=-3a+24
∴D(3a,-3a+24)
②∵C(3a,a),D(3a,-3a+24)
∴CF=3a,CD=-3a+24-a=-4a+24,
∵矩形CDEF的面积为60,
∴S矩形CDEF=CF•CD=3a×(-4a+24)=60,解得a=1或a=5,
当a=1时,3a=3,故C(3,1);
当a=5时,3a=15,故C(15,5);
综上所述C点坐标为:C(3,1)或(15,5).
点评:本题考查的是一次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数的解析式及矩形的面积公式,熟知以上知识是解答此题的关键.
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