Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1     B．2       C．3         D．4

Answer 1

D.

解析试题分析：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S_△DAC=AC•CD=AC•AD．
∴S_△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．
考点: 1.角平分线的性质；2.线段垂直平分线的性质；3.作图—基本作图．