题目内容
【题目】如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,若PA=6,PB=8,PC=10,则∠APB=_____°.
【答案】150°
【解析】
连结PQ,如图,根据等边三角形的性质得∠BAC=60°,AB=AC,再根据旋转的性质得AP=PQ=6,∠PAQ=60°,则可判断△APQ为等边三角形,所以PQ=AP=6,接着证明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10,然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形,于是得到结论.
连结PQ,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60,AB=AC,
∵线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ,
∴AP=PQ=6,∠PAQ=60,
∴△APQ为等边三角形,
∴PQ=AP=6,
∵∠CAP+∠BAP=60,∠BAP+∠BAQ=60
,
∴∠CAP=∠BAQ,
在△APC和△AQB中,
,
∴△APC≌△AQB,
∴PC=QB=10,
在△BPQ中,
∵PB2=82=64,PQ2=62,BQ2=102,
而64+36=100,
∴PB2+PQ2=BQ2,
∴△PBQ为直角三角形,∠BPQ=90,
∴∠APB=90+60
=150
.
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