Question

【题目】已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①　 　或②　 　；

（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．

（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．

(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．

(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠

BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．

（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，

理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，

∴EF是⊙O切线，

②∵AB是⊙0直径，

∴∠C=90°，

∴∠B+∠BAC=90°，

∵∠FAC=∠B，

∴∠BAC+∠FAC=90°，

∴OA⊥EF，

∵OA是半径，

∴EF是⊙O切线，

故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，

（2）作直径AM，连接CM，

即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），

∵∠FAC=∠B，

∴∠FAC=∠M，

∵AM是⊙O的直径，

∴∠ACM=90°，

∴∠CAM+∠M=90°，

∴∠FAC+∠CAM=90°，

∴EF⊥AM，

∵OA是半径，

∴EF是⊙O的切线．

（3）∵OA=OB，

∴点O在AB的垂直平分线上，

∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，

∴∠BAC=∠B，

∴点C在AB的垂直平分线上，

∴OC垂直平分AB，

∴OC⊥AB．