Question

已知：抛物线y=（k-1）x²+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为整数，且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长？

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=（k-1）x²+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，解得k的取值范围．
（2）当k为整数，且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时，可以解得k的整数值．
（3）设最大正方形ABCD的边长为m，则B、C两点的纵坐标为-m，且由对称性可知，B、C两点关于抛物线对称轴对称，求出点C的坐标，C点代入抛物线，解得m．

解答：解：（1）△=4k²-4（k-1）（k-2）=12k-8，
依题意，得

△=12k-8＞0 k-1≠0

，
∴k的取值范围是k＞

2

3

且k≠1，①

（2）解方程3x=kx-1，
得x=

-1

3-k

，
∵方程3x=kx-1的解是负数，
∴3-k＞0．
∴k＜3，②（4分）
综合①②，可得k的取值范围是k＞

2

3

且k≠1，k＜3，再由k为整数，可得k=2，
∴抛物线解析式为y=x²+4x．

（3）如图，设最大正方形ABCD的边长为m，则B、C两点的纵坐标为-m，
且由对称性可知：B、C两点关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为：x=-2，
∴点C的坐标为（-2+

m

2

，-m），
∵C点在抛物线上，
∴(-2+

m

2

)2+4(-2+

m

2

)=-m．
整理，得m²+4m-16=0，
∴m=

-4±4 5

2

=-2±2

5

（舍负）
∴m=2

5

-2．

点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式，会判定两图象交点个数和求抛物线对称轴，本题步骤有点多，做题需要细心．