Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．

（1）求证：ABCE＝BDCD；

（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；

（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝；（3）BD的长为11或或．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；

（2）证明，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；

（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．

（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，

∴△BAD∽△CDE，

∴＝，即ABCE＝BDCD；

（2）解：∵DF平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE，

∵∠CDE＝∠BAD，

∴∠ADE＝∠BAD，

∴，

∴＝，

∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，

∴△BDA∽△BAC，

∴＝，即＝

解得，BD＝，

∴＝，

解得，AE＝；

（3）解：作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC＝BC＝8，

由勾股定理得，AH＝＝＝6，

∴tanB＝＝，

∴tan∠ADF＝＝，

设AF＝3x，则AD＝4x，

由勾股定理得，DF＝＝5x，

∵△BAD∽△CDE，

∴＝，

当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，

∴＝，

解得，CD＝5，

∴BD＝BC﹣CD＝11，

当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，

∴＝，

解得，CD＝，

∴BD＝BC﹣CD＝；

当AE＝AF＝3x时，DE＝x，

∴＝，

解得，CD＝，

∴BD＝BC﹣CD＝；

当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，

∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，

∴＝，

解得，CD＝20＞16，不合题意，

∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．