题目内容
如图,已知,四边形ABCD为菱形,点E、F分别是线段DC和BC延长线的点,AE与BC交于点M,AF与CD交于点N,且∠BAD=2∠EAF.
(1)当∠B=60°,如图1,求证:CE•CF=AB2;
(2)当∠B=90°,如图2,则线段CE、CF、AB之间的数量关系是
(3)在(1)的条件下,若CM:CF=1:6,S 四边形AMCN=9
,求tan∠F的值.
(1)当∠B=60°,如图1,求证:CE•CF=AB2;
(2)当∠B=90°,如图2,则线段CE、CF、AB之间的数量关系是
2AB2=CE•CF
2AB2=CE•CF
;(3)在(1)的条件下,若CM:CF=1:6,S 四边形AMCN=9
3 |
分析:(1)如图1,连接AC,由菱形的性质可以得出△ABC是等边三角形,进而就可以得出△ACE∽△FCA,由相似三角形的性质就可以得出结论;
(2)如图2,连接AC,可以得出△ACE∽△FCA,就可以得出AC2=CF•CE,由勾股定理就可以求出2AB2=CE•CF;
(3)如图1,作AG⊥BC于G,NH⊥CF与H,根据条件可以得出△ABM≌△ACN,△ACM≌△ADN,就可以得出S四边形AMCN=S△ABC,就可以求出菱形的边长,设MC=a,FC=6a,由△AMF的面积-△CNF的面积=S四边形AMCN,就可以得出求出a值,进而就可以求出GF的值而求出结论.
(2)如图2,连接AC,可以得出△ACE∽△FCA,就可以得出AC2=CF•CE,由勾股定理就可以求出2AB2=CE•CF;
(3)如图1,作AG⊥BC于G,NH⊥CF与H,根据条件可以得出△ABM≌△ACN,△ACM≌△ADN,就可以得出S四边形AMCN=S△ABC,就可以求出菱形的边长,设MC=a,FC=6a,由△AMF的面积-△CNF的面积=S四边形AMCN,就可以得出求出a值,进而就可以求出GF的值而求出结论.
解答:解:(1)如图1,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA.AB∥CD,AD∥BC.
∴∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°.
∵∠B=60°,
∴∠BAD=∠BCD=120°,
∴∠ACB=∠BAC=∠DAC=∠ACD=60°,
∴∠BAM+∠CAM=60°,∠DAN+∠CAN=60°.
∵∠B=60°,
∴∠ACB=∠BAC=∠B,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC.
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠EAF=60°.
∴∠EAC+∠FAC=60°.
∵∠FAC+∠F=∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠F.
∵∠BCE=∠DCF,且∠ACB=∠ACD=60°,
∴∠ACE=∠ACF,
∴△ACE∽△FCA,
∴
=
,
∴AC2=CE•CF,
∴CE•CF=AB2;
(2)2AB2=CE•CF
如图2,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA.AB∥CD,AD∥BC.
∴∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°.
∵∠B=90°,
∴∠BAD=∠BCD=90°,
∴∠ACB=∠BAC=∠DAC=∠ACD=45°,
∴∠BAM+∠CAM=45°,∠DAN+∠CAN=45°.
∵∠B=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴AC2=AB2+BC2,
∴AC2=2AB2.
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠EAF=60°.
∴∠EAC+∠FAC=45°.
∵∠FAC+∠F=∠ACB=45°,
∴∠EAC=∠F.
∵∠BCE=∠DCF,且∠ACB=∠ACD=45°,
∴∠ACE=∠ACF,
∴△ACE∽△FCA,
∴
=
,
∴AC2=CE•CF,
∴2AB2=CE•CF;
(3)如图1,作AG⊥BC于G,NH⊥CF与H,
∴∠AGB=∠NHC=90°.
∵∠B=∠NCH=60°,
∴∠BAG=∠CNH=30°,
∴BG=
AB,CH=
CN.
∴AG=
BG,NH=
CH.
∵∠BAM+∠CAM=60°,∠DAN+∠CAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,∠CAM=∠DAN.
在△ABM和△ACN中
,
∴△ABM≌△ACN(ASA),
∴S△ABM=S△ACN.
∴S四边形AMCN=S△ABC=9
,
∴
BC•AG=9
.
设AB=BC=a,
∴BG=
a,AG=
a.
∴
×
a×a=9
,
解得:a=6.
∴AG=3
,BG=3.
在△ACM和△ADN中
,
∴△ACM≌△ADN(ASA)
∴MC=ND.
∵CM:CF=1:6,设CM=x,则CF=6x,CN=6-x,
∴CH=
,NH=
∴
×7x×3
-6x×
×
=9
,
解得:x1=-3(舍去),x2=2.
∴CF=12,
∴GF=15.
∴tan∠F=
=
.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA.AB∥CD,AD∥BC.
∴∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°.
∵∠B=60°,
∴∠BAD=∠BCD=120°,
∴∠ACB=∠BAC=∠DAC=∠ACD=60°,
∴∠BAM+∠CAM=60°,∠DAN+∠CAN=60°.
∵∠B=60°,
∴∠ACB=∠BAC=∠B,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC.
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠EAF=60°.
∴∠EAC+∠FAC=60°.
∵∠FAC+∠F=∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠F.
∵∠BCE=∠DCF,且∠ACB=∠ACD=60°,
∴∠ACE=∠ACF,
∴△ACE∽△FCA,
∴
AC |
FC |
CE |
AC |
∴AC2=CE•CF,
∴CE•CF=AB2;
(2)2AB2=CE•CF
如图2,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA.AB∥CD,AD∥BC.
∴∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°.
∵∠B=90°,
∴∠BAD=∠BCD=90°,
∴∠ACB=∠BAC=∠DAC=∠ACD=45°,
∴∠BAM+∠CAM=45°,∠DAN+∠CAN=45°.
∵∠B=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴AC2=AB2+BC2,
∴AC2=2AB2.
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠EAF=60°.
∴∠EAC+∠FAC=45°.
∵∠FAC+∠F=∠ACB=45°,
∴∠EAC=∠F.
∵∠BCE=∠DCF,且∠ACB=∠ACD=45°,
∴∠ACE=∠ACF,
∴△ACE∽△FCA,
∴
AC |
FC |
CE |
AC |
∴AC2=CE•CF,
∴2AB2=CE•CF;
(3)如图1,作AG⊥BC于G,NH⊥CF与H,
∴∠AGB=∠NHC=90°.
∵∠B=∠NCH=60°,
∴∠BAG=∠CNH=30°,
∴BG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AG=
| ||
2 |
| ||
2 |
∵∠BAM+∠CAM=60°,∠DAN+∠CAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,∠CAM=∠DAN.
在△ABM和△ACN中
|
∴△ABM≌△ACN(ASA),
∴S△ABM=S△ACN.
∴S四边形AMCN=S△ABC=9
3 |
∴
1 |
2 |
3 |
设AB=BC=a,
∴BG=
1 |
2 |
| ||
2 |
∴
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
解得:a=6.
∴AG=3
3 |
在△ACM和△ADN中
|
∴△ACM≌△ADN(ASA)
∴MC=ND.
∵CM:CF=1:6,设CM=x,则CF=6x,CN=6-x,
∴CH=
6-x |
2 |
| ||
2 |
∴
1 |
2 |
3 |
| ||
2 |
1 |
2 |
3 |
解得:x1=-3(舍去),x2=2.
∴CF=12,
∴GF=15.
∴tan∠F=
3
| ||
15 |
| ||
5 |
点评:本题考查了菱形的性质的运用,等腰直角三角形的性质的运用,相似三角形的判定及性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,三角形的面积公式的运用等边三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形相似和全等是关键.
练习册系列答案
相关题目