Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=

k

x

的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．若点C的坐标为（2，2），当阴影部分面积S最小时，则点E的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y=

k

x

可得到A点的坐标为（

k

2

，2），E点的坐标为（2，

k

2

），然后计算S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE，配方得

1

8

（k-2）²+

3

2

，当k=2时，S_阴影部分最小值为

3

2

，则E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点．

解答：解：∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入y=

k

x

得x=

k

2

；把x=2代入y=

k

x

得y=

k

2

，
∴A点的坐标为（

k

2

，2），E点的坐标为（2，

k

2

），
∴S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE
=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2
=

1

8

（k-2）²+

3

2

．
当k-2=0，即k=2时，S_阴影部分最小，最小值为

3

2

；
∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；
故答案为：（2，1）．

点评：本题考查了反比例函数综合题以及二次函数最值问题等知识，根据已知表示出图形面积是解题关键．